1.1 <Inverse Functions of trigonometric functions> 역함수

1. 역함수란?

 

여기, 시간이 지날수록 증가하는 박테리아의 수를 측정 한 데이터가 있다고 해봅시다.

박테리아 수(\(N\))는 시간(\(t\))의 함수로 나타낼 수 있습니다.

$$N=f(t)$$

그런데 만약 관점을 바꿔서, 특정한 박테리아 수에 도달하는데 필요한 시간을 알고 싶다면 어떻게 할까요?

다른 말로 시간(\(t\))을 박테리아 수(\(N\))의 함수로 나타내고 싶다면?

이 함수를 \(f\)의 역함수라고 하고, \(f^{-1}\)이라 표기합니다.

즉 함수

$$t=f^{-1}(N)$$ 은 어떤 박테리아 수에 도달하는데 필요한 시간을 나타냅니다.

 

\(t\)	\(N=f(t)\)		\(N\)	\(t=f^{-1}(N)\)
0	100		100	0
1	168	⇒	168	1
2	259		259	2
3	358		3	358

 

2. 역함수가 존재할 조건

 

(1) 함수의 정의 : 집합 \(X\)의 각 원소에 집합 \(Y\)의 원소가 오직 하나씩만 대응할 때 이 대응 \(f\)를 집합 \(X\)에서 \(Y\)로의 함수라 합니다. 

 

(2) 역함수가 존재할 조건

 

\(X_1\)	→\(f_1\)	\(Y_1\)		\(X_2\)	→\(f_2\)	\(Y_2\)
1	→	4		1	→	4
2	↗				↘	5
3	→	6		3	↗	6
\(f_1^{-1}(4)=1,2\) ?				\(f_2\)는 함수의 정의에 어긋난다

\(X_3\)	→\(f_3\)	\(Y_3\)		\(X_4\)	→\(f_4\)	\(Y_4\)
1	→	4		1	→	4
2	→	5		2	→	5
		6		3	→	6
\(f_1^{-1}(6)=\) ?

 

따라서 역함수가 존재하기 위해서는

\(f(x_1)≠f(x_2)\) whenever \(x_1 ≠ x_2\) , domain = range

를 만족해야 하고 이 함수 \(f\)를 일대일 대응 함수라고 부릅니다.

 

Ono-to-one functions are important because they are precisely the functions that possess inverse functions according to the following definition.

 

[Definition] Let \(f\) be a one-to-one function with domain A and range B. Then its inverse function \(f^{-1}\) has domain B and range A and is defined by 

$$f^{-1}(y)=x   \Leftrightarrow   f(x)=y$$ 

for any y in B.

 

3. 역함수 구하기

 

• STEP1   Write \(y=f(x)\).
• STEP2   Solve this equation for \(x\) in terms of \(y\) (if possible).
• STEP3   To express \(f^{-1}\) as a function of \(x\), interchange \(x\) and \(y\). The resulting equation is \(y=f^{-1}(x)\).

Ex1 Find the inverse function of \(f(x)=x^3+2\).

• STEP1   \(y=x^3+2\)
• STEP2   \(x^3=y-2\)   ->   \(x=\sqrt[3]{y-2}\)  
• STEP3   \(y=\sqrt[3]{x-2}\)   ->   \(\therefore\) \(f^{-1}(x)=\sqrt[3]{x-2}\)

4. 역함수와 그래프의 관계

 

역함수는 점 \((a,b)\)를 점 \((b,a)\)로 바꾸는 것입니다.

따라서 \(f{-1}\)의 그래프는 \(f\)를 \(y=x\)에 대해 대칭이동 시킴으로써 얻을 수 있습니다.

 

Ex2 Sketch the graphs of \(f(x)=\sqrt{-1-x}\) and its inverse function using the same coordinate axes.

• STEP1   Sketch the curve \(y=\sqrt{-1-x}\)
• STEP2   Reflect about the line \(y=x\)
• STEP3   check \(-1>x , y≥0\)   \(\Leftrightarrow\)   \(-1>y , x≥0\)

 

서로 \(y=x\) 대칭인 \(y=f(x)\) 와 \(y=f^{-1}(x)\)

 

5. Cancellation equations

 

\(f^{-1}(f(x))=x\) for every \(x\) in A

\(f(f^{-1}(x))=x\) for evety \(x\) in B

 

The first cancellation equation says that if we start with x, apply \(f\), and then apply \(f^{-1}\), we arrive back at \(x\), where we started. Thus \(f^{-1}\) undoes what \(f\) does. The second equation says that \(f\) undoes what \(f^{-1}\) does.