2.2 <Continuity> 연속

1. 연속이란?

 

연속(continuity)의 수학적 정의는 단어 '연속'의 사전적 정의와 상응합니다.

끊이지 않고 죽 이어지거나 지속한다는 의미를 지니고 있지요.

 

[Definition 1] A function \(f\) is continuous at a number \(a\) if $$\lim_{x \to a}f(x) = f(a)$$

 

이것이 연속의 정의입니다.

이를 잘 살펴보면, 다음 세가지 조건이 숨어있다는 걸 알 수 있습니다.

 

만약 \(f\)가 \(a\)에서 연속이라면,

• \(f(a)\) is defined.  (\(a\)는 \(f\) 정의역의 한 원소이다)
• \(\lim_{x \to a}f(x)\) exist.  (\(x\)가 \(a\)에 가까이 갈 때 \(f\)의 극한값 \(L\)이 존재한다)
• \(\lim_{x \to a}f(x) = f(a)\).  (그리고 이 극한값 \(L\)은 \(f(a)\)이다)

극한이 연속이랑 무슨 상관이 있냐 싶으실텐데요.

극한의 정의(section 2.1참고)를 가져와 위 조건을 풀어쓰면,

-> 임의의 양수 \(\varepsilon\)에 대해서 적당한 양수 \(\delta\)를 줬을 때, \(0≤|x－a|＜\delta\)인 모든 \(x\)에 대하여 \(|f(x)－f(a)|＜\varepsilon\)이 성립한다면 \(f(x)\)는 \(x=a\)에서 연속이다.

라고 할 수 있습니다. (극한의 [\(\varepsilon\)-\(\delta\)] 정의랑 한 가지 다른 점은 \(x\)의 범위입니다. 극한은 \(x=a\)에서의 함숫값은 신경 쓰지 않지만, 연속은 \(x=a\)에서의 함숫값 \(f(a)\)가 존재하므로 \(|x-a|\)의 최소 범위가 영보다 크거나 같다인 것이지요.)

 

여기서 \(x\)와 \(a\)사이의 거리 \(\delta\)를 \(a\)에 대해 마음대로 정한 오차 \(E_a\) 보다 언제나 작거나 같다고 가정해봅시다. 그렇다면 \(\delta\) 내에 있는 \(x\)의 함숫값은 \(E_a\) 내에 있는 \(x\)의 함숫값보다 언제나 \(f(a)\)에 가까이 있다는 것을 알 수 있습니다. 즉 함수 \(f\)의 정의역에 속하는 임의의 점 \(a\)에 대해 마음대로 정한 오차 \(E_a\)에 대하여 \(a\)에 적당히 가까이 있는 모든 점 x의 함숫값이 언제나 \(f(a)\)에 이미 정한 오차 \(E_a\)보다 가까이 있으면 연속이라는 것이지요. \(x\)가 \(a\)에 가까이 간다면  \(f(x)\)도 \(f(a)\)에 가까이 갑니다.

 

연속함수의 특징 중 하나는 \(x\)가 조금 변하면 \(f(x)\)도 조금 변한다는 것입니다.

\(x\)가 아주 조금(충분히 작게) 변했는데 \(f(x)\)의 값이 크게 변한다면 불연속일 가능성이 높아지는 것이지요.

\(f\)가 \(a\) 근처에 정의되어있고 \(f\)가 \(a\)에서 연속이지 않으면 \(f\)는 \(a\)에서 불연속(discontinuous)이다라고 합니다.

 

\(f\)가 \(a\)에서 연속이지 불연속인지 알기 위해선 위 세 조건을 만족하는지 만족하지 않는지 따져보면 됩니다.

 

 Ex1. Where are each of the following functions discontinuous?

 

(a) \(f(x) = (x^2 - x -2)/(x-2)\)

• Notice that \(f(2)\) is not defined, so \(f\) is discontinuous at 2. (\(a=2\)가 \(f\)의 정의역에 있지 않으므로 \(a=2\) 에서 불연속이다. )

(b) \(f(x) = \begin{cases} 1/x^2 & \mbox{if x ≠ 0 } \\ 1, & \mbox{if x = 0} \end{cases}\)

• Here \(f(0)=1\) is defined but
• \(\lim_{x \to 0}f(x) = \lim_{x \to 0}1/x^2 \) does not exist. So \(f\) is discontinuous at 0. (\(x=0\) 일 때 \(f\)의 극한값이 존재하지 않으므로 \(x=0\) 에서 불연속이다. )

(c) \(f(x) = \begin{cases} (x^2 - x -2)/(x-2) & \mbox{if x ≠ 2 } \\ 1, & \mbox{if x = 2} \end{cases}\)

• Here \(f(2)=1\) is defined
• \(\lim_{x \to 2}f(x) = \lim_{x \to 2}(x^2 - x -2)/(x-2) = \lim_{x \to 2}(x-2)(x+1)/(x-2) = \lim_{x \to 2}(x+1) = 3\) exists. But
• \(\lim_{x \to 2}f(x) ≠ f(2)\) so \(f\) is not continuous at 2. (\(x=2\) 일 때의 극한값과 함숫값이 서로 같지 않으므로 \(x=2\) 에서 불연속이다. )

2. 구간에서 연속

 

[Definition 2] A function \(f\) is continuous from the right at a number \(a\) if $$\lim_{x \to a^+}f(x)=f(a)$$ and \(f\) is continuous from the left at \(a\) if $$\lim_{x \to a^-}f(x) = f(a)$$

 

[Definition 3] A function \(f\) is continuous on an interval if it is continuous at every number in the interval. (If \(f\) is defined only on one side of an endpoint of the interval, we understand continuous at the endpoint to mean continuous from the right or continuous from the left. )

 

함수가 어떠한 구간에서 연속이다라고 말할 수 있으려면 전 구간에서 연속이어야 합니다. 만약 닫힌구간이라면 끝점에서 연속인지 불연속인지 꼼꼼하게 따져보아야 합니다.

 

Ex2. Show that the function \(f(x) = 1 - \sqrt{1 - x^2}\) is continuous on the interval [-1, 1].

• If -1 < \(a\) < 1, then using the Limit Laws, we have $$\lim_{x \to a}f(x) = \lim_{x \to a}1-\sqrt{1 - x^2}$$ $$=1 - \lim_{x \to a}\sqrt{1 - x^2}$$ $$= 1 - \sqrt{\lim_{x \to a}(1-x^2)}$$ $$=1 - \sqrt{1 - a^2}$$ $$=f(a)$$ Thus, by Definition 1, \(f\) is continuous at \(a\) if -1<\(a\)<1.
• Similar calculation show that $$\lim_{x \to -1^+}f(x)=1=f(-1)$$ and $$\lim_{x \to 1^-}f(x)=1=f(1)$$ so \(f\) is continuous from the right at -1 and continuous from the left at 1. 
• Therefore, according to Definition 3, \(f\) is continuous on [-1, 1].

Ex2

 

3. 정리(定理)

 

[Theorem 1] If \(f\) and \(g\) are continuous at \(a\) and \(c\) is a constant, then the following functions are also continuous at \(a\):

\(1. f + g\) \(\qquad\) \(2. f - g\) \(\qquad\) \(3. cf\) \(\qquad\) \(4. fg\) \(\qquad\) \(5. f/g\)   if   \(g(a) ≠ 0\)

 

[Theorem 2] 

(a) Any polynomial is continuous everywhere; that is, it is continuous on \(\mathbb{R}\) = (-∞, ∞).

(b) Any rational function(유리함수) is continuous wherever it is defined; that is, it is continuous on its domain.

 

[Theorem 3] The following types of functions are continuous at every number in their domains:

• polynomials
• rational functions
• root functions 
• trigonometric functions 
• inverse trigonometric functions 
• exponential functions 
• logarithmic functions

[Theorem 4] If \(f\) is continuous at \(b\) and \(\lim_{x \to a}g(x) = b\), then \(\lim_{x \to a}f(g(x)) = f(b)\). In other words, $$\lim_{x \to a}f(g(x))=f(\lim_{x \to a}g(x))$$

 

[Theorem 5] If \(g\) is continuous at \(a\) and \(f\) is continuous at \(g(a)\), then the composit function \((f \circ g)(x)\) given by \((f \circ g)(x)=f((g(x))\) is continuous at \(a\).

 

[The Intermediate Value Theorem] Suppose that \(f\) is continuous on the closed interval \([a, b]\) and let \(N\) be any number between \(f(a)\) and \(f(b)\), where \(f(a) ≠ f(b)\). Then there exists a number \(c\) in \((a,b)\) such that \(f(c) = N\).

 

Ex3. Show that there is a root of the equation \(4x^3 - 6x^2 + 3x - 2 = 0\) between 1 and 2.

• \(f(x) = 4x^3 - 6x^2 + 3x -2\) 라고 하자.
• 우리가 원하는 것은 \(f(c) = 0\) 을 만족하는 1과 2 사이에 있는 숫자 \(c\)이다. 따라서 \(a=1\), \(b=2\), 그리고 \(N=0\) 을 취할 수 있다. 
• $$f(1) = 4 - 6 + 3 - 2 = -1 < 0$$ $$f(2) = 32-24+6-2=12>0$$ 
• 따라서 \(f(1)\) < 0 < \(f(2)\). 즉, \(N=0\) 은 \(f(1)\)과 \(f(2)\) 사이에 있는 숫자이다. 다항함수 \(f\)는 연속이므로, 중간값 정리로 인해 \(f(C)=0\) 을 만족하는 숫자 \(c\)가 1과 2 사이에 존재한다. 다시 말해, 위 방정식은 구간 (1, 2) 사이에 적어도 하나의 근 \(C\)를 가진다.