2.1 <The Precise Definition of a Limit> 극한의 엄밀한 정의

1. 극한의 엄밀한 정의

 

[Precise Definition of a Limit] Let $f$ be a function defined on some open interval that contains the number $a$, except possibly at $a$ itself. Then we say that the limit of $f(x)$ as $x$ approaches $a$ is $L$, and we write

$$\lim_{x \to a}f(x)=L$$

if for every number $\varepsilon$ > 0 there is a number $\delta$ > 0 such that

$$if \qquad 0< |x-a| <\delta\ \qquad then \qquad |f(x)-L| < \varepsilon.$$

즉 임의의(모든) 양수 $\varepsilon$에 대하여, $0 < |x-a| < \delta$일 때 항상 $|f(x)-L| < \varepsilon$을 만족하는 어떤 양수 $\delta$가 존재한다면, $x=a$에서 $f(x)$의 극한값은 $L$이다.

 

이것이 극한의 엄밀한 정의입니다. 뜻이 한 번에 와 닿지 않을 수도 있는데요.

$|x-a|$ 는 $x$에서 $a$까지의 거리이고 $|f(x)-L|$은 $f(x)$와 $L$사이의 거리입니다.

$\varepsilon$은 임의의 매우 작은(arbitrarily small) 값입니다.

우리가 집중해야 할 것은 양수 $\delta$입니다. 주어진 조건을 만족하는 $\delta$값을 찾을 수 있을 때 극한이 성립한다는 것이지요.

이것들을 고려하면서, 다른 말로 표현된 정의 세 가지 및 기하학적 해석을 보겠습니다.

차근차근 머릿속에 그리면서 읽어나가면 극한의 엄밀한 정의를 더 잘 이해하실 수 있을 겁니다.

 

• $\lim_{x \to a}f(x)=L$ 은 $x$에서 $a$까지의 거리가 충분히 작으면(but not 0), $f(x)$에서 $L$까지의 거리 역시 임의로(무작위적으로) 작게 만들 수 있다는 것을 의미한다.
• $\lim_{x \to a}f(x)=L$ 은 $x$가 $a$에 충분히 가까워질수록(but not equal to a), $f(x)$의 값을 우리가 만족할만큼 L과 가깝게 만들 수 있다는 것을 의미한다.
• $\lim_{x \to a}f(x)=L$ 은 임의의(모든) 양수 $\varepsilon$에 대하여, $x$가 열린구간 ( $a - \delta, a + \delta$ )에 놓여있고 $x ≠ a$일 때 $f(x)$가 열린구간 ( $L - \varepsilon, L + \varepsilon$ )에 놓여있게 만드는 모든 양수 $\delta$를 찾을 수 있다는 것을 의미한다.

2. 극한의 기하학적 해석

 

• 극한의 정의는 어떤 작은 구간 ( $L - \varepsilon, L + \varepsilon$ ) 이 $L$주위에 주어졌을 때, $f$ 가 ( $a - \delta, a + \delta$ )에 있는 모든 점(except possibly $a$)을 주어진 구간 ( $L - \varepsilon, L + \varepsilon$ )으로 보낼 수 있는 구간 ( $a - \delta, a + \delta$ )를 찾을 수 있다는 것을 말한다.

 

극한의 정의 기하학적 의미

 

• 양수 $\varepsilon$이 주어진다면, 우리는 $x$축에 평행한 선 $y = L + \varepsilon$과 $y = L - \varepsilon$을 그릴 수 있다. (Figure 1) $\lim_{x \to a}f(x)=L$ 이라면 우리는 양수 $\delta$를 찾을 수 있는데 이 $\delta$의 값은 다음을 만족한다. -> 만약 우리가 $x$의 값을 구간 ( $a - \delta, a + \delta$ ) , $x ≠ a$ 에 제한하면, 곡선 $y = f(x)$은 $x$축에 평행한 선 $y = L + \varepsilon$과 $y = L - \varepsilon$ 사이에 놓인다. (Figure 2) 

 

Figure 1, Figure 2

 

여기까지 극한의 엄밀한 정의에 대해 알아보았습니다.

Figure 2에서 볼 수 있듯이 조건을 만족하는 $\delta$가 한번 찾아지면, 이 값보다 더 작은 어떤 $\delta$도 앞 조건을 만족한다는 것을 볼 수 있습니다.

또한 중요한 것은, Figure 1 , Figure 2에서 나오는 과정이 모든 양수 $\varepsilon$에서 성립해야 한다는 것입니다.

즉 $\varepsilon$의 값이 얼마나 크든 작든 우리는 조건을 만족하는 $\delta$값을 찾아야 하죠.

위 Figure 2에서 만약 극한이 존재한다면, 우리는 $\varepsilon$의 값이 얼마나 작든(파란색 범위가 얼마나 줄어들든) 함수 $f(x)$가 $y = L + \varepsilon$과 $y = L - \varepsilon$ 사이에 놓일 수 있는 $\delta$의 값(주황색 범위)을 구할 수 있을 것입니다.

$\varepsilon$값이 작아지면 당연히 $\delta$의 값도 작아질 것입니다. (Figure 3)

 

Figure 3

 

3. 극한 증명하기

 

Ex1 Prove that $\lim_{x \to 3}(4x - 5)=7$

• 1. Preliminary analysis of the problem (guessing a value for $\delta$). Let $\varepsilon$ be a given positive number. We want to find a number $\delta$ such that $$if \qquad 0< |x-3| <\delta\ \qquad then \qquad |(4x-5) - 7| < \varepsilon$$
• But $|(4x - 5) - 7| = |4x - 12| = 4|x - 3|.$ Therefore we want $\delta$ such that $$if \qquad 0< |x-3| <\delta\ \qquad then \qquad 4|x - 3| < \varepsilon$$ $$if \qquad 0< |x-3| <\delta\ \qquad then \qquad |x - 3| < \frac{\varepsilon}{4}$$ This suggests that we should choose $\delta = \varepsilon/4$.
• 2. Proof (showing that this $\delta$ works). Given $\varepsilon > 0$, choose $\delta = \varepsilon/4$. If $0 < |x - 3| < \delta$, then $$|(4x-5)-7|=|4x-12|=4|x-3|<4\delta=4\left( \frac{\varepsilon}{4} \right) = \varepsilon$$
• Thus $$if \qquad 0< |x-3| <\delta\ \qquad then \qquad |(4x-5) - 7| < \varepsilon$$ Therefore, by the definition of a limit, $$\lim_{x \to 3}(4x-5)=7$$
• This example is illustrated by Figure 4.

 

Figure 4

 

4. 좌극한과 우극한

 

[Definition of Left-Hand Limit]

$$\lim_{x \to a^-}f(x)=L$$

if for every number $\varepsilon > 0$ there is a number $\delta > 0$ such that

$$if \qquad a - \delta< x <a \qquad then \qquad |f(x)-L| < \varepsilon$$

 

이것이 좌극한의 정의입니다.

주목해야 할 점은 $x$의 범위입니다. 

좌극한에서 정의한 $x$의 범위는 극한의 정의에 나와있는 $x$의 범위 중 왼쪽 절반으로 제한됩니다.

 

좌극한 $x$의 범위

 

[Definition of Right-Hand Limit]

$$\lim_{x \to a^+}f(x)=L$$

if for every number $\varepsilon > 0$ there is a number $\delta > 0$ such that

$$if \qquad a < x <a+\delta \qquad then \qquad |f(x)-L| < \varepsilon$$

 

우극한에서 정의한 $x$의 범위는 극한의 정의에 나와있는 $x$의 범위 중 오른쪽 절반으로 제한됩니다.