2.1 <The Precise Definition of a Limit> 극한의 엄밀한 정의

1. 극한의 엄밀한 정의

 

[Precise Definition of a Limit] Let \(f\) be a function defined on some open interval that contains the number \(a\), except possibly at \(a\) itself. Then we say that the limit of \(f(x)\) as \(x\) approaches \(a\) is \(L\), and we write

$$\lim_{x \to a}f(x)=L$$

if for every number \(\varepsilon\) > 0 there is a number \(\delta\) > 0 such that

$$if \qquad 0< |x-a| <\delta\ \qquad then \qquad |f(x)-L| < \varepsilon.$$

즉 임의의(모든) 양수 \(\varepsilon\)에 대하여, \(0 < |x-a| < \delta\)일 때 항상 \(|f(x)-L| < \varepsilon\)을 만족하는 어떤 양수 \(\delta\)가 존재한다면, \(x=a\)에서 \(f(x)\)의 극한값은 \(L\)이다.

 

이것이 극한의 엄밀한 정의입니다. 뜻이 한 번에 와 닿지 않을 수도 있는데요.

\(|x-a|\) 는 \(x\)에서 \(a\)까지의 거리이고 \(|f(x)-L|\)은 \(f(x)\)와 \(L\)사이의 거리입니다.

\(\varepsilon\)은 임의의 매우 작은(arbitrarily small) 값입니다.

우리가 집중해야 할 것은 양수 \(\delta\)입니다. 주어진 조건을 만족하는 \(\delta\)값을 찾을 수 있을 때 극한이 성립한다는 것이지요.

이것들을 고려하면서, 다른 말로 표현된 정의 세 가지 및 기하학적 해석을 보겠습니다.

차근차근 머릿속에 그리면서 읽어나가면 극한의 엄밀한 정의를 더 잘 이해하실 수 있을 겁니다.

 

• \(\lim_{x \to a}f(x)=L\) 은 \(x\)에서 \(a\)까지의 거리가 충분히 작으면(but not 0), \(f(x)\)에서 \(L\)까지의 거리 역시 임의로(무작위적으로) 작게 만들 수 있다는 것을 의미한다.
• \(\lim_{x \to a}f(x)=L\) 은 \(x\)가 \(a\)에 충분히 가까워질수록(but not equal to a), \(f(x)\)의 값을 우리가 만족할만큼 L과 가깝게 만들 수 있다는 것을 의미한다.
• \(\lim_{x \to a}f(x)=L\) 은 임의의(모든) 양수 \(\varepsilon\)에 대하여, \(x\)가 열린구간 ( \(a - \delta, a + \delta\) )에 놓여있고 \(x ≠ a\)일 때 \(f(x)\)가 열린구간 ( \(L - \varepsilon, L + \varepsilon\) )에 놓여있게 만드는 모든 양수 \(\delta\)를 찾을 수 있다는 것을 의미한다.

2. 극한의 기하학적 해석

 

• 극한의 정의는 어떤 작은 구간 ( \(L - \varepsilon, L + \varepsilon\) ) 이 \(L\)주위에 주어졌을 때, \(f\) 가 ( \(a - \delta, a + \delta\) )에 있는 모든 점(except possibly \(a\))을 주어진 구간 ( \(L - \varepsilon, L + \varepsilon\) )으로 보낼 수 있는 구간 ( \(a - \delta, a + \delta\) )를 찾을 수 있다는 것을 말한다.

 

극한의 정의 기하학적 의미

 

• 양수 \(\varepsilon\)이 주어진다면, 우리는 \(x\)축에 평행한 선 \(y = L + \varepsilon\)과 \(y = L - \varepsilon\)을 그릴 수 있다. (Figure 1) \(\lim_{x \to a}f(x)=L\) 이라면 우리는 양수 \(\delta\)를 찾을 수 있는데 이 \(\delta\)의 값은 다음을 만족한다. -> 만약 우리가 \(x\)의 값을 구간 ( \(a - \delta, a + \delta\) ) , \(x ≠ a\) 에 제한하면, 곡선 \(y = f(x)\)은 \(x\)축에 평행한 선 \(y = L + \varepsilon\)과 \(y = L - \varepsilon\) 사이에 놓인다. (Figure 2) 

 

Figure 1, Figure 2

 

여기까지 극한의 엄밀한 정의에 대해 알아보았습니다.

Figure 2에서 볼 수 있듯이 조건을 만족하는 \(\delta\)가 한번 찾아지면, 이 값보다 더 작은 어떤 \(\delta\)도 앞 조건을 만족한다는 것을 볼 수 있습니다.

또한 중요한 것은, Figure 1 , Figure 2에서 나오는 과정이 모든 양수 \(\varepsilon\)에서 성립해야 한다는 것입니다.

즉 \(\varepsilon\)의 값이 얼마나 크든 작든 우리는 조건을 만족하는 \(\delta\)값을 찾아야 하죠.

위 Figure 2에서 만약 극한이 존재한다면, 우리는 \(\varepsilon\)의 값이 얼마나 작든(파란색 범위가 얼마나 줄어들든) 함수 \(f(x)\)가 \(y = L + \varepsilon\)과 \(y = L - \varepsilon\) 사이에 놓일 수 있는 \(\delta\)의 값(주황색 범위)을 구할 수 있을 것입니다.

\(\varepsilon\)값이 작아지면 당연히 \(\delta\)의 값도 작아질 것입니다. (Figure 3)

 

Figure 3

 

3. 극한 증명하기

 

Ex1 Prove that \(\lim_{x \to 3}(4x - 5)=7\)

• 1. Preliminary analysis of the problem (guessing a value for \(\delta\)). Let \(\varepsilon\) be a given positive number. We want to find a number \(\delta\) such that $$if \qquad 0< |x-3| <\delta\ \qquad then \qquad |(4x-5) - 7| < \varepsilon$$
• But \(|(4x - 5) - 7| = |4x - 12| = 4|x - 3|. \) Therefore we want \(\delta\) such that $$if \qquad 0< |x-3| <\delta\ \qquad then \qquad 4|x - 3| < \varepsilon$$$$if \qquad 0< |x-3| <\delta\ \qquad then \qquad |x - 3| < \frac{\varepsilon}{4}$$ This suggests that we should choose \(\delta = \varepsilon/4\).
• 2. Proof (showing that this \(\delta\) works). Given \(\varepsilon > 0\), choose \(\delta = \varepsilon/4\). If \( 0 < |x - 3| < \delta\), then $$|(4x-5)-7|=|4x-12|=4|x-3|<4\delta=4\left( \frac{\varepsilon}{4} \right) = \varepsilon$$
• Thus$$if \qquad 0< |x-3| <\delta\ \qquad then \qquad |(4x-5) - 7| < \varepsilon$$Therefore, by the definition of a limit, $$\lim_{x \to 3}(4x-5)=7$$
• This example is illustrated by Figure 4.

 

Figure 4

 

4. 좌극한과 우극한

 

[Definition of Left-Hand Limit]

$$\lim_{x \to a^-}f(x)=L$$

if for every number \(\varepsilon > 0\) there is a number \(\delta > 0\) such that

$$if \qquad a - \delta< x <a \qquad then \qquad |f(x)-L| < \varepsilon$$

 

이것이 좌극한의 정의입니다.

주목해야 할 점은 \(x\)의 범위입니다. 

좌극한에서 정의한 \(x\)의 범위는 극한의 정의에 나와있는 \(x\)의 범위 중 왼쪽 절반으로 제한됩니다.

 

좌극한 \(x\)의 범위

 

[Definition of Right-Hand Limit]

$$\lim_{x \to a^+}f(x)=L$$

if for every number \(\varepsilon > 0\) there is a number \(\delta > 0\) such that

$$if \qquad a < x <a+\delta \qquad then \qquad |f(x)-L| < \varepsilon$$

 

우극한에서 정의한 \(x\)의 범위는 극한의 정의에 나와있는 \(x\)의 범위 중 오른쪽 절반으로 제한됩니다.