1.2 <Inverse Functions of trigonometric functions> 역삼각함수

1. 역삼각 함수란?

 

삼각함수는 일대일 대응이 아니기 때문에 역함수가 존재하지 않습니다.

그러나 범위를 제한하면, 역함수를 구할 수 있습니다.

즉 일대일 대응 함수가 되게 하게끔 범위를 제한해 준 삼각함수의 역함수를 역삼각 함수라고 합니다. 

 

$y=\sin x$ 는 일대일대응함수가 아니지만,

범위를 제한해줌으로써 일대일대응함수로 만들 수 있다.

 

2. inverse sine function

 

함수 $y=\sin x$ , -$\frac{\pi }{2}$ ≤ $x$ ≤ $\frac{\pi }{2}$ 는 일대일 대응 함수입니다.

이 제한된 사인 함수 $f$의 역함수는 존재하고 $\sin^{-1}$ 또는 $\arcsin$이라 표기합니다.

 

restricted sine function $f$

 

 

inverse sine funtion

 

[Since the definition] $$\sin^{-1} x=y   \Leftrightarrow   \sin y=x \quad and \quad -\frac{\pi}{2} \le y \le \frac{\pi}{2}$$

 

3. inverse cosine function

 

함수 $y=\cos x$ , $0$ ≤ $x$ ≤ $\pi$ 는 일대일 대응 함수입니다.

이 제한된 코사인 함수 $f$의 역함수는 존재하고 $\cos^{-1}$ 또는 $\arccos$이라 표기합니다.

 

restricted cosine function $f$

 

inverse cosine funtion

 

[Since the definition]  $$\cos^{-1} x=y   \Leftrightarrow   \cos y=x \quad and \quad 0 \le y \le \pi$$

 

4. inverse tangent function

 

함수 $y=\tan x$ , -$\frac{\pi }{2}$ < $x$ < $\frac{\pi }{2}$ 는 일대일 대응 함수입니다.

이 제한된 탄젠트 함수 $f$의 역함수는 존재하고 $\tan^{-1}$ 또는 $\arctan$이라 표기합니다.

 

restricted tangent function $f$

 

inverse tangent funtion

 

[Since the definition] $$\tan^{-1} x=y   \Leftrightarrow   \tan y=x \quad and \quad -\frac{\pi}{2} < y < \frac{\pi}{2}$$

 

5. 역삼각함수 구하기

 

Ex1 Evaluate $\sin^{-1}$ $\left( \frac{1}{2} \right)$

• STEP1   $\left( \frac{1}{2} \right) = y$ ,   $-\frac{\pi}{2} ≤ y ≤ \frac{\pi}{2}$   
• STEP2   $\sin y = \frac{1}{2}$   ->   $\therefore  y = \frac{\pi}{2}$

Ex2 Evaluate $\tan \left( arcsin \frac{1}{3} \right)$

• STEP1   Let   $\theta=arcsin \frac{1}{3}$ ,   so   $sin \theta = \frac{1}{3}$
• STEP2   Draw a right triangle with angle $\theta$.
• STEP3   From Pythagorean theorem,   $\tan \theta = \frac{1}{2\sqrt{2}}$