1.2 <Inverse Functions of trigonometric functions> 역삼각함수

1. 역삼각 함수란?

 

삼각함수는 일대일 대응이 아니기 때문에 역함수가 존재하지 않습니다.

그러나 범위를 제한하면, 역함수를 구할 수 있습니다.

즉 일대일 대응 함수가 되게 하게끔 범위를 제한해 준 삼각함수의 역함수를 역삼각 함수라고 합니다. 

 

\(y=\sin x\) 는 일대일대응함수가 아니지만,

범위를 제한해줌으로써 일대일대응함수로 만들 수 있다.

 

2. inverse sine function

 

함수 \(y=\sin x\) , -\(\frac{\pi }{2}\) ≤ \(x\) ≤ \(\frac{\pi }{2}\) 는 일대일 대응 함수입니다.

이 제한된 사인 함수 \(f\)의 역함수는 존재하고 \(\sin^{-1}\) 또는 \(\arcsin\)이라 표기합니다.

 

restricted sine function \(f\)

 

 

inverse sine funtion

 

[Since the definition] $$\sin^{-1} x=y   \Leftrightarrow   \sin y=x \quad and \quad -\frac{\pi}{2} \le y \le \frac{\pi}{2}$$

 

3. inverse cosine function

 

함수 \(y=\cos x\) , \(0\) ≤ \(x\) ≤ \(\pi\) 는 일대일 대응 함수입니다.

이 제한된 코사인 함수 \(f\)의 역함수는 존재하고 \(\cos^{-1}\) 또는 \(\arccos\)이라 표기합니다.

 

restricted cosine function \(f\)

 

inverse cosine funtion

 

[Since the definition] $$\cos^{-1} x=y   \Leftrightarrow   \cos y=x \quad and \quad 0 \le y \le \pi$$

 

4. inverse tangent function

 

함수 \(y=\tan x\) , -\(\frac{\pi }{2}\) < \(x\) < \(\frac{\pi }{2}\) 는 일대일 대응 함수입니다.

이 제한된 탄젠트 함수 \(f\)의 역함수는 존재하고 \(\tan^{-1}\) 또는 \(\arctan\)이라 표기합니다.

 

restricted tangent function \(f\)

 

inverse tangent funtion

 

[Since the definition] $$\tan^{-1} x=y   \Leftrightarrow   \tan y=x \quad and \quad -\frac{\pi}{2} < y < \frac{\pi}{2}$$

 

5. 역삼각함수 구하기

 

Ex1 Evaluate \(\sin^{-1}\) \(\left( \frac{1}{2} \right)\)

• STEP1   \(\left( \frac{1}{2} \right) = y\) ,   \(-\frac{\pi}{2} ≤ y ≤ \frac{\pi}{2}\)   
• STEP2   \(\sin y = \frac{1}{2}\)   ->   \(\therefore  y = \frac{\pi}{2}\)

Ex2 Evaluate \(\tan \left( arcsin \frac{1}{3} \right)\)

• STEP1   Let   \(\theta=arcsin \frac{1}{3}\) ,   so   \(sin \theta = \frac{1}{3}\)
• STEP2   Draw a right triangle with angle \(\theta\).
• STEP3   From Pythagorean theorem,   \(\tan \theta = \frac{1}{2\sqrt{2}}\)